BIOINFORMATICS WITH PARK-KLEIS

Mixed effect model, 우리 말로는 혼합효과모형 (or 혼합모형) 이라는 것이 있다. 다른 말로는 Generalised Linear Mixed Model (=GLMM) 으로 표현되기도 한다.

처음 접할 때 매우 어렵다고 느껴지는 부분이기도 하고, 실제로도 어렵다. (나만 그럴수도..)

Mixed effect model 은 fixed effect (고정효과) 와 random effect (랜덤효과) 가 모두 고려된 모델인데, 고정효과는 보통 우리가 생각하는 일반적인 GLM의 설명변수들이다.

Fixed effect 는 보통 우리가 관심있어 하는 변수로, 종속변수와 어떤 연관성이 있다고 생각되는 변수들이다.

예를 들어, 알츠하이머성 치매 발병 여부를 종속변수라고 했을 때, 치매 발병과 관계가 있는 것으로 생각되는 변수들은 나이, 성별, 아밀로이드 베타 단백질 침착량 등이 고정효과가 될 것이다.

그럼 Random effect (랜덤효과) 는 무엇일까?

흔히(?) 보는 랜덤효과에 대한 설명으로는 cluster (=군집) 라고 하는데, 나에게는 그렇게 직관적인 설명으로 느껴지지 않는다.

그럼 이번엔 cluster (군집) 의 개념에 대해 살짝 짚어보고 갈 필요가 있겠다.

군집이란 비슷한 or 연관된 속성을 가진 개체를 그룹화한 것을 뜻한다.

예를 들면 마케팅에서 비슷한 소비 성향을 가진 소비자들을 군집으로 묶어 맞춤 마케팅 전략을 세울 수 있는데, 성별과 연령, 주거지역, 직업 등에 따라 비슷한 성향의 소비자들을 군집으로 묶는 것이다.

그래서 랜덤 효과는 군집이다. 라는 설명이 나오는데, 솔직히 이게 더 혼란스럽게 만든다. 

심지어 통계 책에 따라 랜덤효과를 제각기 설명해두기 때문에 더 혼란스럽다. 🤨

따라서 Gelman & Hill (2007) 이 발췌하여 정리한 fixed & random effect 의 개념들을 정리해보고자 한다.

📖 Gelman & Hill (2007)

1. Kreft & De Leeuw (1998)

 - Fixed effect : 모든 individual에 걸쳐 constant 하다. - Random effect : 모든 individual 에 따라 달라진다.   ⇨ 랜덤 intercept ɑᵢ 와 고정 slope β 는 각 individual i에 대해 평행한 선을 가지게 된다. 

2. Searle, Casella, and McCulloch (1992)

 - Fixed : Effects are fixed if they are interesting in themselves. - Random : Effects are random if there is interest in the underlying population.

3. Green & Tukey (1960)

 - Fixed : 샘플이 모집단을 대표할 수 있을 때, corresponding variable 은 고정. - Random : 샘플이 모집단의 small part 일 때, corresponding variable 은 랜덤.

4. LaMotte (1983)

 - Fixed : 아래 랜덤 효과의 경우가 아닐 때 - Random : 어떤 효과가 랜덤 변수로부터의 'realized value'라고 추정될 때, 그게 랜덤 효과. *참고로, 여기에서 realized value 라는 것은, 예를 들어 6면체의 주사위를 던진다고 할 때, 랜덤 변수는 경우의 수인 (1,2,3,4,5,6) 이고, 실제 주사위를 던져서 나온 값이 3이라면, realized value는 3인 것이다.

5. Robinson (1991), Snijders & Bosker (1999)

 - Fixed : least squares (최소 제곱) 또는 maximum likelihood 를 이용해서 추정되었다면 고정 효과. - Random : Shrinkage 로 추정되었다면 랜덤 효과.

자, 그럼 여기까지 위 다섯 개의 고정효과 및 랜덤효과에 대한 정의가 모두 이해 되신 분 있나요?

솔직히 위 다섯 개 정의 모두 좀 ambiguous 한데.. Gelman & Hill (2007) 은 위 정의들에 대해 다음과 같은 견해를 보였다.

1. 첫 번째 정의는 다른 네 가지 정의와는 구별되는 점이 있다.

2. 두 번째 정의의 문제점은, 데이터나 디자인이 바뀌지 않았더라도, 해석의 목적을 달리하면 고정효과가 랜덤효과가 되기도 하고, 랜덤효과가 고정효과가 되기도 한다는 점이다.

3. 세 번째 정의는 유한한 모집단을 정의했다는 점에서 다른 네 가지 정의와 다르다. (그런데, 모집단에서 small 샘플이 아니고, 모집단의 모든 특성을 갖고 있지 않은 large 샘플이라면 어떻게 정의할 것인지? 에 대한 답은 없다.)

4. 네 번째 정의는 actual population에 대한 레퍼런스가 없다는 문제가 있다.

5. 주어진 효과가 고정인지 랜덤인지로 간주해야 하는지 unclear 하다는 문제가 있지만, 수학적 정확성이 있다.

Gelman & Hill (2007) 는 "fixed" 이니 "random" 이란 용어는 피하고, 모델 그 자체를 설명하는 편을 추천하였다.

그런데 저렇게 말하면.. 뭐 어쩌라는건지.. 라는 생각밖에..

그래서! 저자들은 다음과 같은 세 가지의 motivation을 서술해서 어떤 식으로 GLMM을 설명하면 좋을지에 대해 설명해주었다. 지금껏 꽤 ambiguous한 효과의 정의보다 저자들이 말하는 다음 세 가지를 중점적으로 살펴보는 것이 더 이해에 큰 도움이 될 것이다.

1. Accounting for individual- and group-level variation in estimating group-level regression coefficients.

2. Modeling variation among individual-level regression coefficients.

3. Estimating regression coefficients for particular groups.

자세한 설명은 다음 글에서 할 예정입니다.