BIOINFORMATICS WITH PARK-KLEIS

두 그룹의 모평균 비교를 위한 검정을 할 때 가장 많이 사용되는 방법 중 한 개인

"2-sample independent t-test"가 있다.

두 그룹 비교를 위해 가장 많이 사용되는 방법 중 한 검정법인데, 여러 까다로운(?) 가정들이 있다.

Two-sample independent t-test 통계검정법 중에서도,

모수적 검정법을 사용하려면 다음 가정들을 모두 만족해야 한다.

📌 Assumption 1

- 두 샘플 그룹은 서로 독립일 것

📌 Assumption 2

- 두 샘플 그룹의 평균이 모두 정규성을 만족할 것

- 모집단이 아님! "샘플 그룹의 평균"이 정규분포를 따라야 한다는 것 ⇨ 중심극한정리

📌 Assumption 3

- 두 샘플 그룹의 분산이 등분산일 때와, 이분산 일때를 구별해야 함.

❓2 sample independent t-test를 실시할 때, 위 가정을 어떻게 만족해야 하는지 예시를 통해 살펴보자.

📏 북미에 위치한 A 도시와 중앙아시아에 위치한 B 도시 주민들의 키 평균을 비교하고자 한다. 

내 가설은 A 도시 주민과 B 도시 주민들의 키는 유의미하게 차이가 있다는 것이다.

⇨ 귀무가설과 대립가설은 다음과 같다.

- Null hypothesis (귀무가설=영가설) : 

A 지역 주민의 키 평균 = B 지역 주민의 키 평균

- Alternative hypothesis (대립가설) : 

A 지역 주민의 키 평균 ≠ B 지역 주민의 키 평균

단, 대립가설은 나의 가설이 어떠냐에 따라 (ex. A>B, B>A) 달라질 수 있다.

A 도시에는 100 만 명의 주민이 살고 있고, B 도시에는 50만 명의 주민이 살고 있다고 해보자.

✔️ A 도시 사람들의 키와 B 도시 사람들의 키는 독립이다. (Assumption1 만족)

위 가설을 검정하기 위해서 총 150 만 명에 해당하는 모든 주민의 키를 전수조사하는 것은 불가능에 가깝다. 

따라서 우선 각 지역의 주민들을 랜덤으로 뽑아(=랜덤샘플링), 각 지역을 대표할 수 있는 표본을 구해야 할 것이다. 

이를 위해 각 도시를 대표할 수 있는 주민 100명을 각각 뽑아 평균을 조사하였다.

원래 정석으로는 주민 100명(=sample size)을 여러 번(예를 들어 30번=number of samples) 추출을 해야한다.

이렇게 예를 들어 30번을 추출한다 가정하면, 총 30개의 표본평균이 나올 것이고, 이 표본 평균들이 정규분포를 따르게 되는 것이다. (=중심극한정리)

그러나 현실적인 문제로 이렇게 샘플링을 하는 것은 많은 경우 불가능하므로,

첫 번째 샘플링 그룹의 표본평균을 보고, 이를 사용하게 된다.

중심극한정리에 따라 표본의 평균은 정규분포를 따른다.

즉, A 도시 주민의 키의 분포는 다음과 같다. 

$$ N(\mu_{1},\sigma^{2}) $$

한편 B 도시 주민의 키의 분포는 아래와 같다. 

$$ N(\mu_{2},\sigma^{2}) $$

 ✔️ A 도시 사람들의 키와 B 도시 사람들의 키는 정규성을 만족한다. (Assumption2 만족)

보통은 A도시에서 뽑힌 샘플과 B도시에서 뽑힌 샘플을 각각 shapiro-wilks 검정을 통해 정규성을 만족하는지 살펴본다.

여기서 잠깐❗

통계학을 배울 때 매우 중요하다고 배우는 것이 있는데, 바로 "중심극한정리"이다. 모집단의 분포가 어떠하더라도, 표본 평균은 정규분포를 따른다는 것이다.

만약 모집단이 포아송 분포를 따르고, 랜덤샘플링으로 표본을 30개씩 뽑는다면,

이 표본의 평균의 분포는 정규분포를 따른다.

모집단의 개체 수가 10,000 개이고, 30개 씩 100번 랜덤샘플링을 하면,

100개의 표본 평균 분포은 정규분포를 보이게 된다. 

따라서 원래는 랜덤샘플링을 여러 번 해야 정확하지만, 현실적으로는 불가능하기 때문에 한 번의 랜덤샘플링을 하고 이 표본의 평균이 모집단의 평균을 대표한다고 할 수 있다.

그런데..

 ❓❓ '샘플이 30개 이상이면 근사적으로 정규분포를 따르니까 정규성검정 안해도 된다고 했는데?' 

t-test 검정에 있어 정규성 가정에 대해서는 말이 많다. 결론적으로는 샘플이 크면 정규성 가정을 무시하고 t-test를 해도 좋지만, 그 상세한 이유는 나중에 다루기로 한다.

 ✔️ 마지막으로 두 그룹의 등분산 검정을 실시하여 두 그룹의 분산이 비슷하다면 통계프로그램에서 등분산의 조건을 주어 t-test를 진행하면 된다. 

 만약 등분산 검정에서 두 그룹의 분산이 다르다면 welch 검정 (or Satterthwaite)를 사용하면 된다.

처음 통계를 접할 때 이해하기 어려웠던 것이 모평균, 표본평균, 표본평균의 평균 개념이었다.

지금 생각해보면 저 단어의 의미를 잘 살펴보기만 하면 크게 어렵지 않은 개념인데,

처음엔 다 어렵듯이 표본평균과 표본평균의 평균이라는 개념이 잘 이해가 가지 않았다. 

표본평균은 표본들의 평균이고, 왜 구하는지 이해가 갔는데

표본평균의 평균은 도대체 왜 구해야하는지 잘 이해가 가지 않았다.

표본평균은 중요한 성질들이 있다. 모집단을 임의로 정한 후, 시뮬레이션을 해보면,

1) 표본평균의 전체평균은 모평균과 같다.

2) 표본평균은 모평균의 비편향추정량(unbiased estimator)이다.

3) 표본평균은 모평균과 서로 다르지만 표본평균의 도수들은 모평균 주위에 많이 몰려 있다.

4) 모든 가능한 표본평균의 분포는 모평균을 중심으로 대칭형이다.

모집단이 매우 크다면, 모든 가능한 표본을 찾아 표본평균의 분포를 찾는 것은 불가능하지만

위 성질들은 ①모집단이 크거나 ②다른 분포형태를 가져도, 변함이 없다.

모평균 µ와 모분산 σ² 를 갖는 모집단에서 추출한 랜덤표본을 X₁ , X₂ , ... , X_n 이라 하면, 이들의 표본평균은 다음과 같다.

$$ \overline{X} = \frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}) $$ 

$$ E(\overline{X})=\mu, Var(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n} $$

모집단이 무한모집단이고 표본크기가 충분히 크면 모집단이 어떠한 분포이더라도 표본평균의 분포는 근사적으로 정규분포를 따른다. 이를 중심극한정리(central limit theorem)라 한다. 

중심극한정리에 따르면 모집단의 분포와 관계없이 표본크기가 충분이 크면 표본평균은 정규분포를 따른다. 

$$ \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}) $$

따라서 이항확률변수(binomial)의 분포 역시, 표본크기 n이 충분히 큰 경우 근사적으로 정규분포를 따르게 된다.

이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X는 n이 충분히 클 때, 근사적으로 평균이 np, 분산이 np(1-p)인 정규분포 N(np, np(1-p))를 따른다.

$$ \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0, 1) $$