BIOINFORMATICS WITH PARK-KLEIS

앞선 글에 이어서 대응쌍을 이루는 이항형 반응변수에 대한 주변동질성 검정법을 더 살펴보고자 한다. 

n^* = n₁₂ + n₂₁ 가 두 칸의 도수합이라고 하면, 이렇게 두 개로 나뉘는 것은 binomial variate이기 때문이다.

귀무가설 H₀ : π₁₂ = π₂₁ 하에서 n^* 관측값이 n₁₂와 n₂₁가 될 확률은 1/2이다.

따라서 n₁₂와 n₂₁는 "성공횟수"와 "실패횟수"로, n^* 번 시행일 때 성공의 확률이 1/2인 이항분포를 따른다.

n^*이 10보다 클 때, 이 이항분포는 평균과 표준편차가 다음과 같은 정규분포와 비슷하게 된다.  

$$ mean=\frac{1}{2}n^{*},  sd = \sqrt{n^{*}(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})} $$

따라서 표준화된 정규분포의 검정통계량은 다음과 같다.

$$ z=\frac{n_{12}-(\frac{1}{2})n^{*}}{\sqrt{n^{*}(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})}} = \frac{n_{12}-n_{21}}{\sqrt{n_{12}+n_{21}}} $$

앞선 글에서 사용했던 표를 다시 가져와서 이 검정통계량에 대입해보면 

n₁₂는 132, n₂₁는 107이므로, 검정통계량 z는 다음과 같다.

❗ 앞서 사용한 표를 다시 가져와 종속인 두 비율의 차이에 대한 추정에 대해 얘기하고자 한다.

두 표본이 있다. 

한 표본의 개체와 다른 표본의 개체가 짝지어진 경우의 범주형 반응변수를 비교하고 싶을 때,

두 표본의 반응변수들을 대응쌍(matched pairs)이라 한다. 

대응쌍의 예시로는

1) longitudinal 연구에서 동일한 대상을 시간의 흐름에 따라 반복적으로 관측하는 경우.

 - ex. 식습관을 바꾸기 전의 체중과 바꾼 후의 체중

2) 같은 범주를 갖는 유사한 반응변수들이 두 개 이상 되는 설문조사의 경우.

 - ex. 환경 개선을 위해 자발적으로 (1) 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는지, (2) 생활수준 긴축을 받아들일 의향이 있는지. 

위 표에서 행의 marginal counts (359, 785)는 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는가의 도수, 

열의 marginal counts (334, 810)은 생활수준을 긴축할 의향이 있는가의 도수이다.

❗이 두 가지 질문에 "예"라고 응답할 확률은 어떻게 비교할 수 있는가?

(1) 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는가? "예"라고 대답한 표본 비율 = 359/1144=0.314

(2) 생활수준 긴축의 의향이 있는가? "예"라고 대답한 표본 비율 = 334/1144=0.292

 ❓표본 오즈비는?

➞ 두 질문에 대한 의견에는 강한 상관성이 존재한다.

질문 1에 "예"라고 응답할 확률은 

질문 2에 "예"라고 응답할 확률은 

만약 위 두 확률이 같다면 "아니오"라고 응답할 확률도 동일하게 된다.

두 확률이 같다면 다음과 같이 표현할 수 있고,

따라서

위 식이 성립한다면 주변동질성 Marginal Homogeneity이 존재한다고 할 수 있다.

이와 같이 대응쌍을 이루는 이항형 반응변수일 때,

주변동질성 검정법의 귀무가설은 다음과 같다.