BIOINFORMATICS WITH PARK-KLEIS

두 표본이 있다. 

한 표본의 개체와 다른 표본의 개체가 짝지어진 경우의 범주형 반응변수를 비교하고 싶을 때,

두 표본의 반응변수들을 대응쌍(matched pairs)이라 한다. 

대응쌍의 예시로는

1) longitudinal 연구에서 동일한 대상을 시간의 흐름에 따라 반복적으로 관측하는 경우.

 - ex. 식습관을 바꾸기 전의 체중과 바꾼 후의 체중

2) 같은 범주를 갖는 유사한 반응변수들이 두 개 이상 되는 설문조사의 경우.

 - ex. 환경 개선을 위해 자발적으로 (1) 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는지, (2) 생활수준 긴축을 받아들일 의향이 있는지. 

위 표에서 행의 marginal counts (359, 785)는 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는가의 도수, 

열의 marginal counts (334, 810)은 생활수준을 긴축할 의향이 있는가의 도수이다.

❗이 두 가지 질문에 "예"라고 응답할 확률은 어떻게 비교할 수 있는가?

(1) 더 높은 세금을 지불할 의향이 있는가? "예"라고 대답한 표본 비율 = 359/1144=0.314

(2) 생활수준 긴축의 의향이 있는가? "예"라고 대답한 표본 비율 = 334/1144=0.292

 ❓표본 오즈비는?

➞ 두 질문에 대한 의견에는 강한 상관성이 존재한다.

질문 1에 "예"라고 응답할 확률은 

질문 2에 "예"라고 응답할 확률은 

만약 위 두 확률이 같다면 "아니오"라고 응답할 확률도 동일하게 된다.

두 확률이 같다면 다음과 같이 표현할 수 있고,

따라서

위 식이 성립한다면 주변동질성 Marginal Homogeneity이 존재한다고 할 수 있다.

이와 같이 대응쌍을 이루는 이항형 반응변수일 때,

주변동질성 검정법의 귀무가설은 다음과 같다.

  범주형 변수 분석에는 2X2 분할표가 간단하여 많이 사용되는데, 간단한 자료만 있는 것이 아니라 복잡한 자료들이 참 많다.. 3X3 분할표도 굉장히 많이 이용되는데, 예시를 살펴보고 삼차원 분할표는 어떻게 분석할 수 있는지 살펴보도록 하겠다.

📋3X3 분할표는 보통 아래와 같이 생겼다.

 오즈비에 관한 통계적 추론

표본크기가 작을 때 오즈비의 표본추출분포는 비대칭적이기 때문에 오즈비에 대한 통계적 추론은 θ 를 자연로그 변환한 log(θ )를 이용한다.

두 변수 X, Y 가 서로 독립일 때, θ = 1 ➞ log(θ ) = 0

앞선 글에서 행이 바뀌거나 열이 바뀌면 오즈비는 역수가 되는 것을 살펴보았다.

마찬가지로 로그 오즈비는 행의 역수 혹은 열의 역수가 그 부호를 바꾼다는 의미에서 0에 대하여 대칭이다.

예를 들어,

θ = 2 ➞ log(2) = 0.69

2의 역수 = 0.5

θ = 0.5 ➞ log(0.5) = -0.69

따라서 절대값이 같은 두 log(θ )는 같은 정도의 연관성을 의미한다.

오즈비의 로그 변환인 log(θ )는 θ 의 분포보다 더 정규분포에 가까운 표본추출분포를 갖는다. 

표본크기가 커지면 log(θ )의 표본분포는 평균이 logθ 이고 다음과 같은 표준편차를 갖는 정규분포로 수렴한다.

$$ SE=\sqrt{\frac{1}{n_{11}}+\frac{1}{n_{12}}+\frac{1}{n_{21}}+\frac{1}{n_{22}}} $$

따라서 각 칸의 도수가 증가할수록 표준편차는 감소한다. 

앞선 글(오즈비의 성질)에서 사용했던 표를 다시 가져와서 신뢰구간을 구해보겠다.

logθ 의 왈드 신뢰구간은 다음과 같다.

$$ log \hat{\theta} \pm z_{\alpha/2}(SE) $$

표본으로부터 얻은 각 값들은 아래와 같다. 

$$ log \hat{\theta} = 0.95 $$

$$ SE=\sqrt{\frac{1}{28}+\frac{1}{41}+\frac{1}{35}+\frac{1}{132}}=0.31 $$

위에서 구한 값들을 대입하면 logθ 의 95% 왈드 신뢰구간은 다음과 같다.

$$ log \hat{\theta} \pm z_{\alpha/2}(SE)=0.95 \pm 1.96(0.31)= [0.34, 1.56] $$

로그를 없애기 위해 exp를 취해주면

$$ [e^{0.34}, \;  e^{1.56}] = [1.4, 4.7] $$

따라서 θ 의 95% 왈드 신뢰구간은 [1.4, 4.7]이 된다.

  오즈비는 임상에서 굉장히 많이 사용되는 개념이기도 하고, 로지스틱 회귀에서도 모형의 해석에서 굉장히 중요한 개념이다. 오즈비는 처음에는 이해하기 어렵지만, 이해를 하고나면 그 다음부터 쉽게 해석할 수 있고, 오즈비가 가진 여러 성질들도 이해할 수 있다.

 📋오즈비의 성질을 살펴보기 위해 아래와 같은 표를 만들었다.

 지난 글에서 2X2 분할표에서 많이 사용되는 오즈비와 상대위험도의 개념에 대해서 살펴보았다.

그 중에서도 지난 글에서는 오즈비를 사용할 수밖에 없는 경우에 대해 살펴보았다. 

상대위험도가 직관적으로 이해하기 쉽고 위험비에 대한 쉬운 해석을 가능하게 하지만, 그럼에도 불구하고 보건 or 의학 계열에서 오즈비를 많이 사용 할 수밖에 없는 이유에 대해 살펴보았다.

또한 오즈비와 상대위험도는 가끔 동일하게 해석되기도 한다.

(자세한 내용은 이전 글로..)

그럼 이번 글에서는 오즈비와 상대위험도를 동일하게 해석할 수 있는 경우에 대해 살펴보도록 하겠다.

먼저 다음과 같은 오즈비의 특성을 이해해야 한다.

오즈비의 중요 특성: 상대적인 위험도를 과장하는 측면이 있다.

이는 굉장히 중요한 오즈비의 특성인데, Relative Risk 값보다 항상 큰 값을 가진다.

그리고 이는 해당 Event가 흔하게 일어날 수록 더욱 더 과장 된다.

📋예를 들어 보자.

따듯한 차를 마셨을 때와 방안 온도의 차를 마셨을 때 체온이 상승하는지 아니면 그대로 유지되는지에 대해 조사하고 다음과 같은 분할표를 얻었다.

먼저 Relative Risk 상대위험도를 구해보자.

$$ \frac{90/100}{20/200} = 9 $$

이번엔 Odds Ratio 오즈비를 구해보자. (유도과정은 이전 글 참고)

$$ \frac{90 * 180}{20 * 10} = 81 $$

이번엔 방금 구한 상대위험도와 오즈비를 해석해보자.

📉RR: 상대위험도는 9로, 이는 따듯한 차를 마신다면 체온이 상승할 확률이 방안 온도의 차를 마셨을 때보다 체온이 상승할 확률이 9배가 더 높다는 의미로 해석할 수 있다.

📈OR: 한편, 오즈비가 81라는 것은 따듯한 차를 마셨을 때 체온이 상승할 오즈가 방안 온도의 차를 마셨을 때 체온이 상승할 오즈보다 81배가 높다는 의미로 해석할 수 있다.

이 실험의 경우 상대적인 비율이 9배라는 것과 81배라는 것은 엄청난 차이가 있다. 그 비율에 있어서도 무려 9배가 차이가 난다. 오즈비 역시 상대적인 위험도를 나타내는 수치이지만 이렇게 큰 차이가 날 경우 오즈비를 상대위험도처럼 해석하면 안된다.

이러한 실험처럼 어떤 Event (이번 사례에서는 체온 상승)가 rare하지 않고 흔하게 일어나는 경우라면 그 상대적인 위험도를 매우 과장시키기 때문에 오즈비를 사용하는 것은 적절하지 않다.

📋이번에는 다음 사례를 살펴보자.

A약과 B약을 복용하였을 때 부작용이 일어날 상대위험도와 오즈비를 구해보도록 하겠다.

📉먼저 Relative Risk 상대위험도를 구해보자.

$$ \frac{2/244}{3/481} = 1.314 $$

📈이번엔 Odds Ratio 오즈비를 구해보자.

$$ \frac{2 * 478}{3 * 242} = 1.316 $$

역시 오즈비가 상대위험도보다 아주 약간 더 큰 값이 나왔다.

그러나 중요한 점은 오즈비와 상대위험도의 값이 매우 비슷하다는 것이다.

❗이러한 경우에는 오즈비를 상대위험도처럼 해석할 수 있다.

요약하자면, 오즈비는 직관적인 해석이 어려운 대신 상대위험도를 계산할 수 없는 사례-대조 연구에서 사용할 수 있고, 어떤 event가 일어날 사건이 희귀하다면(=확률이 작다면) 충분히 그 해석을 상대위험도로 근사하게 할 수 있다.

 Odds Ratio는 임상에서 매우 많이 사용되는 개념이다.

그러나 'Odds' 라는 개념이 직관적으로 잘 와닿지 않기 때문에 흔히 오용되기도 하는 개념이라 가장 먼저 잡고가야 할 주제로 삼았다.

오즈비는 범주형 자료에서 사용되는데, 오즈비를 보면서 가장 많이 접하게 될  2X2 분할표는 다음과 같이 생겼다.

흔히 하는 실수가 오즈비(Odds Ratio)를 해석할 때, 상대위험도(Relative risk)를 해석하듯이 한다는 점이다.

따라서 오즈비와 상대위험도의 각 개념에 대해서 살펴보고 넘어가도록 하자.

❗Odds Ratio와 Relative Risk의 공통점 : 상대적인 비율을 나타낸다.

Public health, Medical field 에서 Odds Ratio or Relative Risk를 사용하는 이유

- 어떤 조건에서 더 위험한지를 수치적으로 나타내기 위해서 사용한다.

예를 들면, "흡연(조건)"을 하는 사람은 비흡연자에 비해 "폐암(Event)" 발생에 있어서 몇 배가 더 위험한가? 와 같은 질문에 대한 해답으로 많이 사용된다.

✅위와 같은 2X2 이차원 분할표에서 Odds Ratio (오즈비)의 수식적 정의는 다음과 같다.

P1 = A/(A+B) ; P2 = C/(C+D)

Odds1 = P1/(1-P1) ; Odds2 = P2/(1-P2)

Odds Ratio = Odds1/Odds2 = A*D/B*C

✅한편 2X2 분할표에서 Relative Risk (상대위험도)의 수식적 정의는 다음과 같다.

RR = P1 / P2

📋이렇게만 보면 직관적으로 감이 잘 오지 않으니 예시를 들어 살펴보겠다.

 흡연군과 비흡연군에서 폐암 발생 환자와 정상인은 다음과 같이 조사되었다. (내가 마음대로 만든 숫자ㅋ)

📉위와 같은 분할표에서 Relative Risk를 먼저 구하면

$$ \frac{25/150}{40/400} = 1.67 $$

RR 상대위험도가 1.67이라는 의미는

흡연을 하는 그룹이 비흡연 그룹에 비해 1.67배 더 높다라고 해석할 수 있다.

📈이번에는 Odds Ratio(OR) 오즈비를 구해보도록 하겠다.

흡연 그룹의 Odds  $$ \frac{25/150}{125/150} = 0.2 $$

비흡연 그룹의 Odds  $$ \frac{40/400}{360/400} = 0.111 $$

Odds Ratio 오즈비 = 흡연 그룹의 Odds / 비흡연 그룹의 Odds = 0.2/0.111 = 1.8

⇨ OR 오즈비는 흡연 그룹의 오즈가 비흡연 그룹의 오즈보다 1.8배 더 높다라고 해석할 수 있다.

🤨 근데 잠깐!

상대위험도에 비해 오즈비는 직관적인 해석이 조금 더 어렵다.

흡연그룹이 비흡연그룹에 비해 폐암에 대한 위험도가 1.67배가 더 높다는 것은 너무 잘 와닿는데,

❓흡연그룹의 "Odds오즈"가 비흡연그룹의 "Odds오즈"에 비해 1.8배가 더 높다는 것은 무슨 의미인가?

✅Odds 오즈의 정의는 "성공확률/실패확률"이다.

흡연 그룹의 Odds가 0.2 라는 의미는 흡연 그룹에서 정상인 사람이 10명 나올 때마다 폐암에 걸린 사람이 2명씩 나온다는 의미이다.

마찬가지로 비흡연 그룹의 Odds가 0.11 이라는 의미는 비흡연 그룹에서 정상인 사람이 10명 나올 때마다 폐암에 걸린 사람이 1.1명씩 나온다는 의미이다.

이 둘을 나눈 "흡연그룹의 Odds"/"비흡연그룹의 Odds" 가 바로 Odds Ratio 오즈비인데,

오즈비가 1.8이라는 의미는 <흡연그룹의 Odds가 비흡연그룹의 Odds보다 1.8배가 높다.>는 의미이다. 

즉, 흡연 그룹에서 정상인 사람이 10명 나올 때마다 폐암에 걸린 사람이 나올 비율이 비흡연 그룹에서 정상인 사람이 10명 나올 때마다 폐암에 걸릴 사람이 나올 비율보다 1.8배가 높다는 의미로 해석할 수 있다. 

결론은 상대위험도와 오즈비 모두 흡연 그룹이 비흡연 그룹보다 폐암에 더 취약하다는 것을 이야기 해주고 있다는 것이다.

❓그럼 위 오즈비를 "흡연 그룹이 비흡연 그룹보다 폐암에 걸릴 확률이 1.8배가 더 높다"고 해석할 수 있을까?

Odds Ratio 혹은 Relative Risk 결과를 해석할 때 다음과 같은 문장을 많이 보게 된다.

"위험인자에 노출된 경우에는 노출되지 않은 경우에 비해  암 발생 확률이 대략 3배 더 높다."

이렇게 해석해도 되는걸까?

결론은 오즈비와 상대위험도는 종종 같은 의미로 해석하는 경우들이 많은데, 엄밀히 파자면 해석도 달리해야 하고 실험 설계에 따라 달리 사용해야 한다. 그러나 때에 따라서 오즈비와 상대위험도를 동일하게 해석할 수도 있다.

두 수치 모두 상대적인 위험도를 나타낸다는 것은 알겠는데 그럼 무슨 차이가 있지?

상대위험도가 이해하기 훨씬 쉽고 많이 사용되는데 오즈비는 도대체 왜 사용하는거지?

때에 따라 동일하게 해석도 가능하다는데 오즈비를 왜 써야하지?

라는 의문이 든다.

먼저 이번에는 반드시 오즈비를 사용해야 하는 경우를 설명하고, 다음 글에서 오즈비와 상대위험도를 동일하게 해석할 수 있는 경우에 대해 소개하고자 한다.

먼저 오즈비(Odds Ratio)는 직관적인 해석은 어렵지만,

그럼에도 불구하고 특히 보건/의료 분야에서 굉장히 많이 사용된다.

그 이유는 보건 / 의료 분야에서 현실적으로 코호트 연구를 하기에는 상당한 시간과 비용이 들어가

사례-대조 연구 (case-control study)를 사용하는 경우가 많다.

사례-대조 연구를 할 때에는 Relative Risk를 사용할 수 없다.

❓도대체 왜? 후향적 연구인 사례-대조 연구에서는 상대위험도를 사용할 수 없는가?

이게 굉장히 중요한 질문인데, 이는 분할표로 다시 돌아와야 한다.

사례-대조 연구로 위 분할표를 얻었다고 생각해보자.